Расчет балки на прогиб онлайн: эпюры N, Q, M в 3D

ammonit 3d — облачный сервис для расчета балок методом конечных элементов. Эпюры изгибающих моментов (M) и поперечных сил (Q) с визуализацией в реальном времени.

✅ Любые типы балок: однопролетные, многопролетные, консольные, с промежуточными опорами.
✅ Нагрузки: сосредоточенные силы, распределенные q(x), моменты.
✅ Результат: прогибы, углы поворота, опорные реакции, усилия.

Расчет балки на прогиб и построение эпюры M(x)

Расчет балки на прогиб

Рассмотрим модель балки длиной L=1 м с жёстким защемлением концов. Сечение балки — квадрат 25×25 мм из стали с модулем Юнга E = 2.06e+11 Па и коэффициентом Пуассона 0.3. По всей длине на балку сверху действует статическая равномерно распределённая нагрузка 3 кН/м. В этом случае из общего решения обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка можно выписать аналитические выражения для функции прогиба (см. статью на Хабре)

\[ v(x) = \dfrac{q_0}{EJ}\left(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^3L}{12}+\dfrac{x^2L^2}{24}\right), \quad M(x) = -EJ\dfrac{d^2v}{dx^2} = -q_0\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xL}{2}+\dfrac{L^2}{12}\right).\]

Используя эти соотношения можно построить графики функций прогиба \(v(x)\) и момента \(M(x)\) по длине балки

Эпюра прогиба v(x) и изгибающего момента M(x)

Из аналитических выражений и графиков, представленных на рисунке, видно, что наибольший прогиб \(v(0.5) = -1.165e-3\) м, достигается в середине балки. Наибольший изгибающий момент достигается на концах балки \(М(0) = М(1) = -250\)Нм. В середине балки момент равен \(М(0.5) = 125\)Нм. На рисунке ниже представлены графики прогиба и момента по длине балки, найденные онлайн в программе ammonit3d. Аналогичные эпюры получены в программах SCAD++ и Lira.

Модель балки с расчётом на прогиб и распределение изгибающего момента по длине

Эпюра прогиба и момента при действии постоянной распределённой нагрузки по длине балки
🔗 Модель балки на прогиб ⟶
\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \text{Что сравниваем} & v(0.5), 10^{-3} м & \hline М(0.5), Н\cdot м & М(0.0), Н\cdot м \\ \hline \text{Аналитическая формула} & -1.165000 м & \hline 125 & 250 \\ \hline \text{SCAD++} & -1.164999 м & \hline 125 & 250 \\ \hline \text{Lira} & -1.165000 м & \hline 125 & 250 \\ \hline \text{ammonit 3d} & -1.165000 м & \hline 125 & 250 \\ \end{array}

Из таблицы видно, что параметры, найденные аналитически, совпадают с численным решением модели из одного конечного элемента для SCAD++ и Lira, так и для ammonit3d. Однако SCAD++, Lira в рамках одного конечного элемента не отображает эпюры прогибов на конечно-элементной расчётной схеме(?), а лишь в отдельном окне эпюр. При этом ammonit3d обеспечивает отображение и прогибов и моментов на пространственной схеме.

Вывод

Безусловно, коммерческие пакеты SCAD++ и Lira обеспечивают в рамках модели Эйлера-Бернулли аналитическую точность на одном конечном элементе, как и ammonit3d. Однако облачное приложение демонстрирует современную графику и кроссплатформенность, т. е. возможность создавать модели и выполнять расчёты на компьютерах, планшетах, смартфонах и других гаджетах, имеющих доступ к интернету. И главная особенность – моделями 3Д расчётных схем можно делиться в соцсетях, по почте, размещать ссылки публичных моделей на различных сайтах или делиться приватными моделями в своём сообществе.

Модель "Рамный каркас"

Кому любопытно, могут оценить прогибы \(v(x)\) для модели "Рамный каркас", предварительно пройдя регистрацию

🔗 Рамный каркас онлайн⟶

Обучающее видео ammonit 3d